幂函数的性质表格（幂函数图像及性质）

本文目录

• 幂函数图像及性质
• 幂函数是什么意思有什么特性及性质
• 幂函数的性质是什么
• 什么是幂函数,它有什么性质
• 幂函数的性质
• 幂函数的几个性质
• 幂函数有什么性质（具体点）
• 将图中幂函数性质填入表格
• 幂函数的概念和性质
• 幂函数的性质是什么呢

幂函数图像及性质

幂函数图像及性质如下：

幂函数（power function）是基本初等函数之一。

一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

性质

正值性质

当α》0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；

c、在第一象限内，α》1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0《α《1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；

负值性质

当α《0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

幂函数是什么意思有什么特性及性质

　　一般地以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。那么你对幂函数了解多少呢?以下是由我整理关于什么是幂函数，希望大家喜欢!

　　幂函数的介绍

　　例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。当α取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

　　幂函数的性质

　　幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

　　取正值

　　当α》0时，幂函数y=xα有下列性质：

　　a、图像都经过点(1,1)(0,0);

　　b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

　　c、在第一象限内，α》1时，导数值逐渐增大;α=1时，导数为常数;0《α《1时，导数值逐渐减小，趋近于0;

　　取负值

　　当α《0时，幂函数y=xα有下列性质：

　　a、图像都通过点(1,1);

　　b、图像在区间(0，+∞)上是减函数;(内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间(-∞，0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)

　　c、在第一象限内，有两条渐近线(即坐标轴)，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

　　取零

　　当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

　　a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。(x=0时，函数值没意义)

　　幂函数的特性

　　对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果α=p/q，且p/q为既约分数(即p，q互质)，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。当指数α是负整数时，设α=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　α小于0时，x不等于0;

　　α的分母为偶数时，x不小于0;

　　α的分母为奇数时，x取R。

　　幂函数的定义域和值域

　　幂函数的一般形式是y=xⁿ，其中，n可为任何实数，但中学阶段仅研究n为有理数的情形，这时可表示为y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互质。特别，当k=1时为整数指数幂。

　　(1)当m，k都为正奇数时，如y=x，y=x³，y=x^(3/5)等，定义域、值域均为R，为奇函数;

　　(2)当m为负奇数，k为正奇数时，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x³，y=x^(-3/5)等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数;

　　(3)当m为正奇数，k为正偶数时，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数;

　　(4)当m为负奇数，k为正偶数时，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数;

　　(5)当m为正偶数，k为正奇数时，如y=x²，y=x^(2/3)等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数;

　　(6)当m为负偶数，k为正奇数时，如y=x^(-2)=1/x²，y=x^(-2/3)等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。

　　幂函数的特殊情况

　　由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到：

　　(1)所有的图像都通过(1，1)这点.(α≠0) α》0时 图象过点(

　　特殊性(2)：幂函数的单调区间

　　特殊性(2)：幂函数的单调区间

　　0，0)和(1，1)。

　　(2)单调区间：

　　当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增;

　　②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增;

　　③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能

　　幂函数的单调区间(当a为分数时)

　　幂函数的单调区间(当a为分数时)

　　说在定义域R内单调递减);

　　④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

　　当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α》0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增;

　　②当α》0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增;

　　③当α《0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减;

　　④当α《0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

　　(3)当α》1时，幂函数图形下凹(竖抛);

　　当0《α《1时，幂函数图形上凸(横抛)。

　　当α《0时，图像为双曲线。

　　(4)在(0,1)上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴;在(1，﹢∞)上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

　　(5)当α《0时，α越小，图形倾斜程度越大。

　　(6)显然幂函数无界限。

　　(7)α=2n(n为整数),该函数为偶函数 {x|x≠0}。

幂函数的性质是什么

形如y=x^a(a为常数）

(1)当m，n都为奇数，k为偶数时，如

，

，

等，定义域、值域均为R，为奇函数；

(2)当m，n都为奇数，k为奇数时，如

，

，

等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数；

(3)当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，如

，

等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数；

(4)当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，如

，

等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数；

(5)当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，如

，

等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数；

(6)当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，如

，

等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。 

重要幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

什么是幂函数,它有什么性质

幂函数定义：形如y=x^a(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。

幂函数图像必须出现在第一象限而不是第四象限。它是否出现在第二和第三象限取决于函数的奇偶性。幂函数图像最多只能出现在两个象限中。如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点必须是原点。

扩展资料：

幂函数性质：

当α》0时，幂函数y=xα有下列性质：图像都经过点（1,1）(0,0）；函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；在第一象限内，α》1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0《α《1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

当α《0时，幂函数y=xα有下列性质：图像都通过点（1,1）；图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

参考资料来源：百度百科——幂函数

幂函数的性质

幂函数y＝x^α重点是α＝±1,±2,±3,±1/2.
1.α=0.
y=x^0.
图象：过点（1,1）,平行于x轴的直线一条（剔去点（0,1））.
定义域：（－∞,0）∪（0,＋∞）.
值域：{1}.
奇偶性：偶函数
2.α∈Z＋.
①α＝1
y=x
图象：过点（1,1）,一、三象限的角平分线（包含原点（0,0））.
定义域：（－∞,＋∞）.
值域：.（－∞,＋∞）
单调性：增函数.
奇偶性：奇函数.
②α＝2
y=x^2
图象：过点（1,1）,抛物线.
定义域：（－∞,＋∞）.
值域：.[0,＋∞）
单调性：减区间（－∞,0],增区间[0,＋∞）
奇偶性：偶函数.
注：当α＝2n,n∈N＋时,幂函数y=x^α也具有上述性质.
③α＝3
y=x^3
图象：过点（1,1）,立方抛物线.
定义域：（－∞,＋∞）.
值域：.（－∞,＋∞）
单调性：增函数.
奇偶性：奇函数.
注：当α＝2n＋1,n∈N＋时,幂函数y=x^α也具有上述性质.
3．α是负整数.
①α＝－1
y=x^(-1).
图象：过点（1,1）,双曲线.
定义域：（－∞,0）∪（0,＋∞）.
值域：.（－∞,0）∪（0,＋∞）
单调性：减区间（－∞,0）和（0,＋∞）.
奇偶性：奇函数.
②α＝－2
y=x^（－2）.
图象：过点（1,1）,分布在一、二象限的拟双曲线.
定义域：（－∞,0）∪（0,＋∞）.
值域：（0,＋∞）
单调性：增区间（－∞,0）,减区间（0,＋∞）
奇偶性：偶函数.
注：当α＝－2n,n∈N＋时,幂函数y=x^α也具有上述性质.
③α＝－3
y=x^（－3）
图象：过点（1,1）,双曲线型.
定义域：（－∞,0）∪（0,＋∞）.
值域：（－∞,0）∪（0,＋∞）
单调性：减区间（－∞,0）和（0,＋∞）
奇偶性：奇函数.
注：当α＝－2n＋1,n∈N＋时,幂函数y=x^α也具有上述性质.
4．α是正分数.
①α＝1/2.
y=x^(1/2)=√x.
图象：过点（1,1）,分布在一象限的抛物线弧（含原点）.
定义域：[0,＋∞）.
值域：[ 0,＋∞）.
单调性：增函数.
奇偶性：非奇非偶.
注：当α＝（2n＋1）/（2m）,m,n∈N＋时,幂函数y=x^α也具有上述性质.
②α＝1/3.
y=x^(1/3)
图象：过点（1,1）,与立方抛物线y＝x^3关于直线y＝x对称..
定义域：（－∞,＋∞）.
值域：.（－∞,＋∞）.
单调性：增函数.
奇偶性：奇函数.
注：当α＝（2n－1）/（2m＋1）,m,n∈N＋时,幂函数y=x^α也具有上述性质.
5．α是负分数.
①α＝－1/2.
y=x^(－1/2)=1/√x.
图象：过点（1,1）,只分布在一象限的双曲线弧.
定义域：（0,＋∞）.
值域：（ 0,＋∞）.
单调性：减函数.
奇偶性：非奇非偶.
注：当α＝－（2n－1）/（2m）,m,n∈N＋时,幂函数y=x^α也具有上述性质.
②α＝－1/3.
y=x^(－1/3)=1/(3)√x.
图象：过点（1,1）,双曲线型.
定义域：（－∞,0）∪（0,＋∞）.
值域：（－∞,0）∪（0,＋∞）.
单调性：减区间（－∞,0）和（0,＋∞）.
奇偶性：奇函数.
注：当α＝－（2n－1）/（2m＋1）,m,n∈N＋时,幂函数y=x^α也具有上述性质

幂函数的几个性质

幂函数

1. 幂函数的概念

幂在代数中的意思指的是乘方运算的结果。α^n指α自乘n次。其中α叫做底数，n叫做指数，α^n叫做幂，把幂看作乘方的结果，叫做“α的n次幂”或“α的n次方”，见下图所示。 

幂的概念▲

●整数指数幂的基本运算法则是：

①幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(α^m)^n=α^(mn)。

②同底数的幂相乘，底数不变，其指数为两个指数的和，即α^m•α^n=α^(m+n)。

③积的乘方，先把积的每个因数分别相乘，再把所得的幂相乘，即：(αb)^n=α^n•b^n。

④同底的幂相除，底数不变，指数为两个指数的差，即α^m÷α^n=α^(m-n)。

3. 常用结论

幂函数有什么性质（具体点）

幂函数
开放分类：数学、函数
幂函数的一般形式为y=x^a.
如果a取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于a取无理数,则不太容易理解,在我们的课程里,不要求掌握如何理解指数为无理数的问题,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识.因此我们只要接受它作为一个已知事实即可.
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号（x的p次方）,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,＋∞）.当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是（－∞,0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能,即对于x》0,则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不能是偶数；
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数.
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数.
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数.
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数.
而只有a为正数,0才进入函数的值域.
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1,1）这点.
（2）当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数.
（3）当a大于1时,幂函数图形下凹；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸.
（4）当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大.
（5）a大于0,函数过（0,0）；a小于0,函数不过（0,0）点.
（6）显然幂函数无界限.

将图中幂函数性质填入表格

定义域依次 R, R,R,[0，正无穷大),{x/x≠0}
值域为 R, [0，正无穷大),R,[0,正无穷大),{y/y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数，奇函数，非奇非偶函数，奇函数
单调性 增函数 在(负无穷大，0)是减函数，在(0,正无穷大)是增函数， 增函数，增函数，
在(负无穷大，0)是减函数，在(0,正无穷大)是减函数，
公共点 (1.1)

幂函数的概念和性质

1、幂函数的概念：
y=x（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
2、幂函数的性质
正值性质当α》0时，幂函数y=xα有下列性质：
①图像都经过点（1，1）（0，0）；
②函数的图像在区间[0，+∞）上是增函数，如果α为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数。

幂函数的性质是什么呢

性质：

一、正值性质

当α》0时，幂函数y=xα有下列性质：

1、图像都经过点（1，1）（0，0）。

2、函数的图像在区间[0，+∞）上是增函数。

3、在第一象限内，α》1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0《α《1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）。

二、负值性质

当α《0时，幂函数y=xα有下列性质：

1、图像都通过点（1，1）。

2、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

幂函数的特性

对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果

，q和p都是整数，则

，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则

，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

α小于0时，x不等于0；α的分母为偶数时，x不小于0；α的分母为奇数时，x取R。