浮点运算技巧（计算机组成原理——浮点数表示方法是什么）

本文目录

• 计算机组成原理——浮点数表示方法是什么
• 简述浮点运算中溢出处理方法
• 浮点加、减运算时为什么需要对阶简述对阶的方法和理由(计算机组成原理)
• 浮点数表示方法
• 浮点数的二进制怎么表示
• 请教浮点数相乘或相除的方法
• 浮点数比较大小的方法
• 用补码表示，按浮点运算方法，求X+Y的值

计算机组成原理——浮点数表示方法是什么

浮点数是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。

一个浮点数a由两个数m和e来表示:a = m × b^e。在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b(记数系统的基)和精度p(即使用多少位来存储)。m(即尾数)是形如±d.ddd...ddd的p位数(每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1)。如果m的第一位是非0整数,m称作规格化的。有一些描述使用一个单独的符号位(s 代表+或者-)来表示正负，这样m必须是正的。e是指数。

在计算机中表示一个浮点数，其结构如下:

尾数部分(定点小数) 阶码部分(定点整数): 阶符±, 阶码e,数符±,尾数m。这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数无法表示的更大范围的数。

浮点加法减法运算

设有两个浮点数x和y,它们分别为

x = Mx*2^Ex

y = My*2^Ey

其中Ex和Ey分别为数x和y的阶码,Mx和My为数x和y的尾数。

两浮点数进行加法和减法的运算规则是

设 Ex小于等于Ey，则 x±y = (Mx*2^(Ex-Ey)±My)*2^Ey,

完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步:

1. 0 操作数的检查;

2. 比较阶码大小并完成对阶;

3. 尾数进行加或减运算;

4. 结果规格化并进行舍入处理。

⑴ 0 操作数检查

浮点加减运算过程比定点运算过程复杂。如果判知两个操作数x或y中有一个数为0,即可得知运算结果而没有必要再进行后续的一系列操作以节省运算时间。0操作数检查步骤则用来完成这一功能。

⑵ 比较阶码大小并完成对阶

两浮点数进行加减，首先要看两数的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。若二数阶码相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。反之，若二数阶码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使二数阶码相同，这个过程叫作对阶。要对阶，首先应求出两数阶码Ex和Ey之差，即△E = Ex-Ey。

若△E=0,表示两数阶码相等，即Ex=Ey;若△E》0,表示Ex》Ey;若△E《0,表示Ex《Ey。

当Ex≠Ey 时，要通过尾数的移动以改变Ex或Ey,使之相等。原则上，既可以通过Mx移位以改变Ex来达到Ex=Ey,也可以通过My移位以改变Ey来实现Ex=Ey。但是，由于浮点表示的数多是规格化的，尾数左移会引起最高有效位的丢失，造成很大误差。尾数右移虽引起最低有效位的丢失，但造成误差较小。因此，对阶操作规定使尾数右移，尾数右移后阶码作相应增加，其数值保持不变。显然，一个增加后的阶码与另一个阶码相等，增加的阶码的一定是小阶。因此在对阶时，总是使小阶向大阶看齐，即小阶的尾数向右移位(相当于小数点左移)每右移一位，其阶码加1,直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差△E。

⑶ 尾数求和运算

对阶结束后，即可进行尾数的求和运算。不论加法运算还是减法运算，都按加法进行操作，其方法与定点加减法运算完全一样。

⑷ 结果规格化

在浮点加减运算时，尾数求和的结果也可以得到01.ф…ф或10.ф…ф，即两符号位不等，这在定点加减法运算中称为溢出，是不允许的。但在浮点运算中，它表明尾数求和结果的绝对值大于1,向左破坏了规格化。此时将运算结果右移以实现规格化表示，称为向右规格化。规则是:尾数右移1位，阶码加1。当尾数不是1.M时需向左规格化。

⑸ 舍入处理

在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位，这样，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，从而造成一定误差，因此要进行舍入处理。

简单的舍入方法有两种:一种是"0舍1入"法，即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去，为1则将尾数的末位加"1"。另一种是"恒置一"法，即只要数位被移掉，就在尾数的末尾恒置"1"。

在IEEE754标准中，舍入处理提供了四种可选方法:

就近舍入其实质就是通常所说的"四舍五入"。例如，尾数超出规定的23位的多余位数字是10010,多余位的值超过规定的最低有效位值的一半，故最低有效位应增1。若多余的5位 是01111,则简单的截尾即可。对多余的5位10000这种特殊情况:若最低有效位现为0,则截 尾;若最低有效位现为1,则向上进一位使其变为 0。

朝0舍入 即朝数轴原点方向舍入，就是简单的截尾。无论尾数是正数还是负数，截尾都使取值的绝对值比原值的绝对值小。这种方法容易导致误差积累。

朝+∞舍入 对正数来说，只要多余位不全为0则向最低有效位进1;对负数来说则是简单的截尾。

朝-∞舍入 处理方法正好与 朝+∞舍入情况相反。对正数来说,只要多余位不全为0则简单截尾;对负数来说，向最低有效位进1。

⑹ 溢出处理

浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的。在加\减运算过程中要检查是否产生了溢出:若阶码正常，加(减)运算正常结束;若阶码溢出，则要进行相应处理。另外对尾数的溢出也需要处理。

阶码上溢 超过了阶码可能表示的最大值的正指数值，一般将其认为是+∞和-∞。

阶码下溢 超过了阶码可能表示的最小值的负指数值，一般将其认为是0。

尾数上溢 两个同符号尾数相加产生了最高位向上的进位，将尾数右移，阶码增1来重新对齐。

尾数下溢 在将尾数右移时，尾数的最低有效位从尾数域右端流出，要进行舍入处理。

简述浮点运算中溢出处理方法

　　溢出就是超出了机器数所能表示的数据范围，浮点数的范围是由阶码决定的。当运算阶码大于最大阶码时，属溢出；当运算阶码小于最小负阶码时，计算机按0处理。
　　浮点运算就是实数运算，因为计算机只能存储整数，所以实数都是约数，这样浮点运算是很慢的而且会有误差。现在大多数机器都是32位的，也就是说64位都用来表示整数的话，那么对于无符号整数就是0 到 2^32-1，对于有符号的话就是-2^31 到 2^31-1。

浮点加、减运算时为什么需要对阶简述对阶的方法和理由(计算机组成原理)

举个例子: 如果你要想加 1111.001 和11.001 首先你要 像这样: 0.1111001 * 2^(4)和0.11001 * 2^(2) "a^b"代表a的b次方 我们要保证后面的2^(4)和2^(2)能处于同一阶数 加法器才能正确相加 所以我们转换为:0.1111001 * 2^(4)和0.0011001 *2^(4) 这保证了小数点的位置 对阶就是指: 两浮点数进行加减，首先看两数的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。若两数阶码相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数相加减，反之，此时需要使两数的阶码相同，这个过程叫做对阶

浮点数表示方法

浮点数是一种公式化的表达方式，用来近似表示实数，并且可以在表达范围和表示精度之间进行权衡（因此被称为浮点数）。

浮点数通常被表示为：

N=M×R^E

比如：12.345=1.2345×10^1

其中，M(Mantissa)被称为浮点数的 尾数 ，R(Radix)被称为阶码的 基数 ，E(Exponent)被称为阶的 阶码 。计算机中一般规定R为2、8或16，是一个确定的常数，不需要在浮点数中明确表示出来。

因此，在已知标准下，要表示浮点数。

一是要给出尾数M的值，通常用定点小数形式表示，它决定了浮点数的表示精度，即可以给出的有效数字的位数。

二是要给出阶码，通常用定点整数形式表示，它指出的是小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。因此，在计算机中，浮点数通常被表示成如下格式：（假定为32位浮点数，基为2，其中最高位为符号位）。

浮点数的规格化表示

按照上面的指数表示方法，一个浮点数会有不同的表示：

0.3×10^0；0.03×10^1；0.003×10^2；0.0003×10^3。

为了提高数据的表示精度同时保证数据表示的唯一性，需要对浮点数做规格化处理。

在计算机内，对非0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须大于基数的倒数，即｜M|≥1/R。

即要求尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。

浮点数的二进制怎么表示

浮点数的二进制表示：

• 例如：-12.5 转为单精度二进制表示

• 12.5: 

• 整数部分12，二进制为1100; 小数部分0.5, 二进制是.1，先把他们连起来，从第一个1数起取24位（后面补0）： 
  

• 1100 .1 000 00000000 00000000 
  

• 这部分是有效数字。（把小数点前后两部分连起来再取掉头前的1，就是尾数） 
  

• 把小数点移到第一个1的后面，需要左移3位（1.1001 000 00000000 0000 0000 *2^3 ）, 加上偏移量127：127+3=130，二进制是10000010 ，这是阶码。 
  

• -12.5是负数，所以符号位是1。把符号位，阶码和尾数连起来。注意，尾数的第一位总是1，所以规定不存这一位的1，只取后23位： 
  1 10000010 10010000000000000000000 

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。

二进制数（binaries）是逢2进位的进位制，0、1是基本算符；计算机运算基础采用二进制。电脑的基础是二进制。电子计算机出现以后，使用电子管来表示十种状态过于复杂，所以所有的电子计算机中只有两种基本的状态，开和关。也就是说，电子管的两种状态决定了以电子管为基础的电子计算机采用二进制来表示数字和数据。

浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学计数法。

请教浮点数相乘或相除的方法

你说的是c语言吧！浮点数相乘相除的方法是也就是把变量定义成浮点数如：
float sum1,sum2,a,b;
a=1.3;
b=2.6;
sum1=a*b;
sum2=a/b;

浮点数比较大小的方法

浮点数运算和整数运算相比，只能进行加减乘除这些数值计算，不能做位运算和移位运算。

在计算机中，浮点数虽然表示的范围大，但是，浮点数有个非常重要的特点，就是浮点数常常无法精确表示

举个例子：
浮点数0.1在计算机中就无法精确表示，因为十进制的0.1换算成二进制是一个无限循环小数，很显然，无论使用float还是double，都只能存储一个0.1的近似值。但是，0.5这个浮点数又可以精确地表示。

因为浮点数常常无法精确表示，因此，浮点数运算会产生误差：

由于浮点数存在运算误差，所以比较两个浮点数是否相等常常会出现错误的结果。正确的比较方法是判断两个浮点数之差的绝对值是否小于一个很小的数：

浮点数在内存的表示方法和整数比更加复杂。Java的浮点数完全遵循 IEEE-754 标准，这也是绝大多数计算机平台都支持的浮点数标准表示方法。

如果参与运算的两个数其中一个是整型，那么整型可以自动提升到浮点型：

需要特别注意，在一个复杂的四则运算中，两个整数的运算不会出现自动提升的情况。例如：

计算结果为5.2，原因是编译器计算24 / 5这个子表达式时，按两个整数进行运算，结果仍为整数4。

整数运算在除数为0时会报错，而浮点数运算在除数为0时，不会报错，但会返回几个特殊值：

用补码表示，按浮点运算方法，求X+Y的值

X,Y变为补码为X=11110 00101011, Y=11101 11001011.求X+Y关键是阶码对齐,至于如何对齐,可以这么记：尾数只能右移,这样丢失的是低位数据,对结果影响不会很大,不能左移.所以,对应的阶码只可增加,故小阶码要向大的对齐.Y阶码比X的小1,故Y阶码加1与X对齐,尾数右移一位：11110 11100101.然后,尾数相加：00 101011+11 100101=00 010000,一切正常,无溢出.变为正数,阶码不变.最后规格化,尾数第一位与符号位相同,需左规,左移一位,阶码减一,变为：11 101 00 100000.