三角函数诱导公式教案（高中数学三角函数教学设计）

本文目录

• 高中数学三角函数教学设计
• 三角函数常用诱导公式大全
• 高中数学必修4《任意角的三角函数》教案
• 三角函数公式诱导公式的推导过程详解
• 高中数学教案：三角函数的诱导公式
• 三角函数的诱导公式知识点
• 高中数学三角函数教案 高一三角函数教案

高中数学三角函数教学设计

　　写好教案是保证教学取得成功,提高教学质量的基本条件。为了能够很好的帮助各位老师备课，下面是我分享给大家的高中数学三角函数教学设计，希望大家喜欢!
　　高中数学第一单元三角函数教学设计
　　第二十四教时

　　教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式

　　目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练;同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。

　　过程：

　　一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：

　　例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 + 

　　(《教学与测试》P115 例三)

　　解： ∴

　　又∵tan2 《 0，tan 《 0 ∴ ，

　　∴ ∴2 +  =

　　例二、 已知sin  cos = ， ，求 和tan的值

　　解：∵sin  cos = ∴

　　化简得： ∴

　　∵ ∴ ∴ 即

　　二、 积化和差公式的推导

　　sin( + ) + sin(  ) = 2sincos  sincos =

　　sin( + )  sin(  ) = 2cossin  cossin =

　　cos( + ) + cos(  ) = 2coscos  coscos =

　　cos( + )  cos(  ) =  2sinsin  sinsin = 

　　这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。(在告知公式前提下)

　　例三、 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32

　　证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2

　　=  (cos4  cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2

　　=  cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2

　　= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)

　　= cos22cos22 = cos32 = 右边

　　∴原式得证

　　三、 和差化积公式的推导

　　若令 +  = ，   = φ，则 ， 代入得：

　　∴

　　这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。

　　例四、 已知cos  cos  = ，sin  sin = ，求sin( + )的值

　　解：∵cos  cos  = ，∴ ①

　　sin  sin  = ，∴ ②

　　∵ ∴ ∴

　　∴

　　四、 小结：和差化积，积化和差

　　五、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3

　　P38—39 例题推荐 1—3

　　P40 例题推荐 1—3
　　高中数学三角函数的诱导公式教学设计
　　1 教材分析

　　1.1 教材的地位与作用

　　本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§2.6节内容.它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据.是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带.求三角函数值是三角函数中的重要内容.诱导公式是求三角函数值的基本方法.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90”角的三角函数值问题，诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式.这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义

　　1.2 教学重点与难点

　　1.2.1 教学重点

　　诱导公式的推导及应用

　　1.2.2 教学难点

　　相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.

　　2 目标分析

　　根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标如下

　　2.1 知识目标

　　1)识记诱导公式.

　　2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.

　　2.2 能力目标

　　1)通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.

　　2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.

　　3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.

　　2.3 情感目标

　　1)通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.

　　2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.

　　3 过程分析

　　3.1 创设问题情境，引导学生观察、联想，导入课题

　　1)提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征.

　　2)板书：诱导公式(一).

　　sin(k·360°+α)=sinα，cos(k·360°+α)=cosα.

　　tan(k·360°+α)=tanα，cot(k·360°+α)=cotα(k∈Z)

　　结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等.

　　②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题.

　　教学设想 通过提问让学生温习、重视已有相关知识，为学生学习新知识作铺垫.

　　3)学生练习：试求下列三角函数值

　　sin1110°，sin1290°.

　　教学设想 由已有知识导出新的问题，为学习新知识创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲，启迪学生思维的火花.

　　4)介绍单位圆概念后，引导学生观察演示(一)并思考下列问题：

　　①210°能否用(180°+α)的形式表达(0°《α《90°)?(210°=180°+30°)

　　②210°与30°角的终边位置关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)

　　③设210°，30°角的终边分别交单位圆于点P，P’，则点P与P’的位置关系如何?(关于原点对称)

　　④设点P(x，y)，则点P’的坐标怎样表示?

　　⑤sin210°与sin30°的值的关系如何?

　　教学设想 通过微机动态演示，引导学生发现210°与30°角的终边及其与单位圆交点关于原点对称关系，借助三角函数定义，寻找sin210°与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数值的目的.

　　学生通过主动探索、发现解决问题的途径，体验和领会数形结合与归纳转化的数学思想方法.

　　5)导入课题

　　对于任意角α，sinα与sin(180°+α)的关系如何呢?试说出你的猜想.

　　3.2 运用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳、推导公式

　　1)引导学生观察演示(二)并思考下列问题：

　　①α与(180°+α)角的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称)

　　②设α与(180°+α)角的终边分别交单位圆于点P，P’，则点P与P’位置关系如何?(关于原点对称)

　　③设点P(x，y)，那么点P’的坐标怎样表示?

　　④sinα与sin(180°+α)，cosα与cos(180°+α)关系如何?

　　⑤tanα与tan(180°+α)，cotα与cot(180°+α)关系如何?

　　⑥经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何?

　　2)板书诱导公式

　　sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα，

　　tan(180°+α)=tanα，cot(180°+α)=cotα.

　　结构特征：①函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时).

　　②把求(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.

　　教学设想 激发学生做出猜想后，启发学生把特殊问题(求sin210°值)与一般问题进行类比，实现方法迁移，引导学生观察演示，发现角α与(180°+α)的终边及其与单位圆交点关于原点的对称关系，把求角(180°+α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.对学生进行归纳思维训练，培养学生归纳思维能力.

　　微机的动态演示，使学生对“α为任意角”有准确的认识，初步体验从特殊到一般的归纳推理形式，领会数学的归纳转化思想和方法.

　　3)基础训练题组一

　　求下列各三角函数值(可查表)：

　　②试求sin的值

　　分析：

　　对于问题②学生可能出现的情况为：

　　sin=-sin(-210°)，

　　或sin=sin(-30°).

　　(至此，大多数学生已无法再运算)

　　教学设想 在新的知识的基础上又导出新的未知，又一次创设问题情境，把学生的学习兴趣进一步推向高潮，激励学生要敢于迎接挑战、战胜困难、不断追求、陶冶情操、锻炼意志.

　　4)引导学生观察演示(三)，并思考下列问题：

　　①30°与(-30°)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)

　　②设30°与(-30°)角的终边分别交单位圆于点P，P’，则点P与P’的位置关系如何?(关于x轴对称)

　　③设点P(x，y)，则点P’的坐标怎样表示?

　　④sin(-30°)与sin30°的值关系如何?

　　教学设想 引导学生把求sin210°问题与sin(-30°)进行类比，实现方法迁移.通过微机动态演示，发现-30°与30°角的终边及其与单位圆交点关于x轴对称的关系.借助三角函数定义，寻找sin(-30°)与sin30°值的关系，达到转化为求0°～90°角三角函数的值的目的.

　　5)导入新问题：对于任意角α，sinα与sin(-α)的关系如何呢?试说出你的猜想?

　　6)引导学生观察演示(四)并思考下列问题：(设α为任意角)

　　①α与(-α)角的终边位置关系如何?(关于x轴对称)

　　②设α与(-α)角的终边分别交单位圆于点P，P’，则点P与P’位置关系如何?(关于x轴对称)

　　③设点P(x，y)，则点P’的坐标怎样表示?

　　④sinα与sin(-α)，cosα与cos(-α)关系如何?

　　⑤tanα与tan(-α)，cotα与cot(-α)的关系如何?

　　7)学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评.

　　8)板书诱导公式

　　sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα.

　　tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα.

　　结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角)

　　把求(-α)的三角函数值转化为求α的三角函数值.

　　9)基础训练题组(二)：求下列各三角函数值(可查表)

　　③cos(-240°12’);④cot(-400°).

　　3.3 构建知识系统、掌握方法、强化能力

　　课堂小结：(以提问、填空形式让学生自己完成)

　　1)诱导公式：

　　sin(k·360°+α)=sinα.

　　cos(k·360°+α)=cosα.

　　tan(k·360°+α)=tanα.

　　cot(k·360°+α)=cotα.(k∈Z)

　　sin(180°+α)=-sinα.

　　cos(180°+α)=-cosα.

　　tan(180°+α)=tanα.

　　cot(180°+α)=cotα.

　　sin(-α)=-sinα.

　　cos(-α)=cosα.

　　tan(-α)=-tanα.

　　cot(-α)=-cotα.

　　2)公式的结构特征：函数名不变，符号看象限(把α看作锐角时)

　　3)方法及步骤：

　　教学设想 通过提问、填空的形式，引导学生概括归纳已有知识，形成知识系统，发现知识规律及其结构特征，深化对诱导公式内涵和实质的理解，强化记忆.

　　挖掘知识系统体现数学的归纳转化思想方法，培养学生的概括抽象能力，形成知识网络和方法网络.

　　4)能力训练题组：(检测学生综合运用知识能力)

　　5)课外思考题.

　　①求下列各三角函数值：

　　6)作业与课外思考题

　　作业：P162习题十三(1)—(6)

　　教学设想 通过能力训练题组和课外思考题检测学生综合运用知识的能力，培养学生的创造性思维能力，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.

　　为学生课外留下“余音”，培养学生养成自觉学习、积极探索的良好学习习惯，为下一节课学习诱导公式(四)、(五)作准备.

　　4 教法分析

　　根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课采用了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法.

　　4.1 利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.

　　4.2 由(180°+30°)与30°，(-30°)与30°终边对称关系的特殊例子，利用多媒体动态演示，学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想，引导学生进行问题类比、方法迁移，发现任意角α与(180°+α)，-α终边的对称关系，进行从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力.

　　4.3 采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识和创新精神，培养学生的思维能力.

　　4.4 通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式(一)、(二)、(三)的应用进一步拓广，为演绎推导诱导公式(四)、(五)做好理论依据准备，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力.

　　5 评价分析

　　本节课教学过程中通过问题设疑，引导学生循序渐进的从特殊到一般进行联想、类比、归纳，发现数学公式，体现以教师为主导，学生为主体，积极思维的学习过程.

　　在问题类比、方法迁移、归纳推理的思维训练过程中，师生的信息交流畅通，反馈及时，评价及时，矫正及时，学生思维活跃，教学活动始终处于教师期望控制中.

　　5 教案设计说明

　　5.1 关于本节课教学指导思想

　　归纳推理是发现和获得知识的基本思维形式，拉普拉斯曾说：“发现真理的主要工具也是归纳和类比”.归纳思维在形成创新意识中具有特殊的重要的地位，归纳思维往往获得的是开拓性的创造(再创造).三角函数求值是三角函数中重要问题之一，诱导公式是解决此类问题的基本方法.教学过程中，通过问题设疑、多媒体动态演示等教学措施，创设问题情境，引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比、归纳出具有普遍的、一般的整体性质.体现了学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，促使学生积极思维主动探索，勇于发现，敢于创新.通过从特殊到一般的归纳思维训练，学生主动地获得新的知识，并在获得知识的过程中，形成良好的思维品质，发展学生的思维能力.

　　5.2 关于教学过程的设计

　　1)重现已有相关知识，为学习新知识作好铺垫.

　　2)思维总是从问题开始的，在sin1290°的求值过程中，从已知到未知，引发新的问题，营造氛围，引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲.

　　3)数学的思想方法是数学素质的核心，由sin210°的求值过程，把未知转化为已知，引导学生发现推导诱导公式的方法和途径，领会数学的归纳转化思想方法.

　　4)通过多媒体直观动态的演示，从特殊到一般完成所有情况的分类，引导学生联想，进行问题类比、方法迁移、归纳推理出具有普遍性的结论，形成公式，进行归纳思维训练.

　　5)通过分析诱导公式的结构特征，强化对诱导公式的理解和记忆，深刻领会诱导公式的内涵和实质.构建知识系统，培养学生的概括抽象能力.

　　6)通过基础训练题组和课外思考题的练习，掌握解决问题的方法，形成技能，提高学生分析问题和解决问题的能力.
　　高中数学二倍角的三角函数教案设计
　　一、知识与技能

　　1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系;揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.

　　2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。

　　3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。

　　二、过程与方法

　　1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣;

　　2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

　　三、情感、态度与价值观

　　1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

　　2.培养用联系的观点看问题的观点。

　　【教学重点与难点】：

　　重点：半角公式的推导与应用(求值、化简、证明)

　　难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。

　　【学法与教学用具】：

　　1. 学法：

　　(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

　　(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

　　2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。

　　引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

　　3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

　　【授课类型】：新授课

　　【课时安排】：1课时

　　【教学思路】：

　　一、创设情景，揭示课题

　　二、研探新知

　　四、巩固深化，反馈矫正

　　五、归纳整理，整体认识

　　1.巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。

　　2.熟悉"倍角"与"二次"的关系(升角--降次，降角--升次).

　　3.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

　　4.半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方;公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.

　　5.注意公式的结构，尤其是符号.

　　六、承上启下，留下悬念

　　七、板书设计(略)

　　八、课后记：略

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三角函数常用诱导公式大全

诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。接下来给大家分享三角函数常用的诱导公式及记忆方法。

三角函数诱导公式

诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等

设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

设α为任意角，弧度制下的角的表示：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

三角函数诱导公式记忆方法

奇变偶不变，符号看象限。即形如(2k+1)90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值

(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;

(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

高中数学必修4《任意角的三角函数》教案

　　高中数学必修4《任意角的三角函数》教案【一】

　　教学准备

　　教学目标

　　1、 知识与技能

　　(1)能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系;(2)能正确运用进行三角函数式的求值运算;(3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧;(4)运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。

　　2、 过程与方法

　　回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明;掌握几种同角三角函数关系的应用;掌握在具体应用中的一定技巧和方法;理解并掌握同角三角关系的简单变形;提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。

　　3、 情感态度与价值观

　　通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位;认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯;培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。

　　教学重难点

　　重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。

　　难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。

　　教学工具

　　投影仪

　　教学过程

　　【创设情境，揭示课题】

　　同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些?它们成立的条件是什么?学习实践中，你还发现了哪些关系?今天这节课，我们就来讨论这些问题。

　　【探究新知】

　　在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：

　　2.学生课堂练习

　　教材P66练习1和P67练习2

　　五、归纳整理，整体认识

　　(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?

　　(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

　　(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

　　六、布置作业

　　教材P68习题中1—6

　　课后小结

　　归纳整理，整体认识

　　(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?

　　(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

　　(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

　　课后习题

　　作业

　　教材P68习题中1、6

　　板书

　　略

　　高中数学必修4《任意角的三角函数》教案【二】

　　教学准备

　　教学目标

　　1、知识与技能

　　(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

　　2、过程与方法

　　初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.

　　3、情态与价值

　　本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.

　　教学重难点

　　重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).

　　难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.

　　教学工具

　　投影仪

　　教学过程

　　【复习回顾】

　　1、 三角函数的定义;

　　2、 三角函数在各象限角的符号;

　　3、 三角函数在轴上角的值;

　　4、 诱导公式(一)：终边相同的角的同一三角函数的值相等;

　　5、 三角函数的定义域.

　　要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆.

　　【探究新知】

　　1.引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢?换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢?

　　2.边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米).

　　9学习小结

　　(1)了解有向线段的概念.

　　(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角

　　的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

　　(3)体会三角函数线的简单应用.

　　1. 作业：

　　比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)

　　(1)

　　2.练习三角函数线的作图.

　　课后小结

　　小结

　　(1)了解有向线段的概念.

　　(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角

　　的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

　　(3)体会三角函数线的简单应用.

　　课后习题

　　板书

　　略

三角函数公式诱导公式的推导过程详解

　　三角函数诱导公式是三角函数中一个常用的公式，在考试中也时常出现相关考点。下面是由我为大家整理的“三角函数公式诱导公式的推导过程详解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　三角函数诱导公式

　　1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

　　cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

　　tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

　　cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

　　5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　(以上k∈Z)

　　三角函数诱导公式推导过程

　　万能公式推导

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/，

　　(因为cos2(α)+sin2(α)=1)

　　再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　三倍角公式推导

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=

　　上下同除以cos3(α)，得：

　　tan3α=

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2(α)+sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)=3sinα-4sin3(α)

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα==4cos3(α)-3cosα

　　即：

　　sin3α=3sinα-4sin3(α)

　　cos3α=4cos3(α)-3cosα

　　和差化积公式推导

　　首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

　　同理，若把两式相减，就得到cosasinb=/2

　　同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

　　所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

　　同理，两式相减我们就得到sinasinb=-/2

　　这样，我们就得到了积化和差的公式：cosasinb=/2

　　好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式;

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin

　　sinx-siny=2cos

　　cosx+cosy=2cos

　　cosx-cosy=-2sin

　　 拓展阅读：三角函数诱导公式口诀

　　三角函数诱导记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

　　“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

高中数学教案：三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式（一）
一、指导思想与理论依据

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。

二．教材分析

三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）．本节是第一课时,教学内容为公式（二）、（三）、（四）.教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发现任意角 与 、 、 终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）.同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位.

三．学情分析

本节课的授课对象是本校高一（1）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容.

四．教学目标

(1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；

(2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简；

(3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力；

(4).个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观．

五．教学重点和难点

1.教学重点

理解并掌握诱导公式.

2.教学难点

正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式.

六．教法学法以及预期效果分析

“授人以鱼不如授之以鱼”， 作为一名老师,我们不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想方法, 如何实现这一目的,要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究.下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析.

1．教法

数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质.

在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”， 由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.

2．学法

“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，很多课堂教学常常以高起点、大容量、快推进的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情.如何能让学生程度的消化知识，提高学习热情是教者必须思考的问题.

在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题 共同探讨 解决问题 简单应用 重现探索过程 练习巩固.让学生参与探索的全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习.

3.预期效果

本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题.

七．教学流程设计

（一）创设情景

1．复习锐角300，450，600的三角函数值；

2．复习任意角的三角函数定义；

3．问题:由 ，你能否知道sin2100的值吗？引如新课.

设计意图

自信的鼓励是增强学生学习数学的自信，简单易做的题加强了每个学生学习的热情，具体数据问题的出现，让学生既有好像会做的心理但又有迷惑的茫然，去发掘潜力期待寻找机会证明我能行，从而思考解决的办法.

（二）新知探究

1. 让学生发现300角的终边与2100角的终边之间有什么关系；

2．让学生发现300角的终边和2100角的终边与单位圆的交点为 、 的坐标有什么关系；

3．Sin2100与sin300之间有什么关系.

设计意图

由特殊问题的引入，使学生容易了解，实现教学过程的平淡过度,为同学们探究发现任意角 与 的三角函数值的关系做好铺垫.

（三）问题一般化

探究一

1.探究发现任意角 的终边与 的终边关于原点对称；

2.探究发现任意角 的终边和 角的终边与单位圆的交点坐标关于原点对称；

3.探究发现任意角 与 的三角函数值的关系.

设计意图

首先应用单位圆，并以对称为载体，用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，数形结合，问题的设计提问从特殊到一般，从线对称到点对称到三角函数值之间的关系，逐步上升，一气呵成诱导公式二．同时也为学生将要自主发现、探索公式三和四起到示范作用，下面练习设计为了熟悉公式一，让学生感知到成功的喜悦，进而敢于挑战，敢于前进

（四）练习

利用诱导公式(二),口答下列三角函数值.

(1). ;(2). ;(3). .

喜悦之后让我们重新启航，接受新的挑战，引入新的问题.

（五）问题变形

由sin300= 出发，用三角的定义引导学生求出 sin（－300），Sin1500值,让学生联想若已知sin = ,能否求出sin( ),sin( )的值.

学生自主探究

1．探究任意角 与 的三角函数又有什么关系；

2．探究任意角 与 的三角函数之间又有什么关系.

设计意图

遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.

展示学生自主探究的结果

诱导公式（三）、（四）

给出本节课的课题

三角函数诱导公式

设计意图

标题的后出，让学生在经历整个探索过程后，还回味在探索，发现的成功喜悦中，猛然回头，哦，原来知识点已经轻松掌握，同时也是对本节课内容的小结.

（六）概括升华

的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符合.（即：函数名不变，符号看象限.）

设计意图

简便记忆公式.

（七）练习强化

求下列三角函数的值：（1）.sin( )； (2). cos(-20400).

设计意图

本练习的设置重点体现一题多解，让学生不仅学会灵活运用应用三角函数的诱导公式，还能养成灵活处理问题的良好习惯.这里还要给学生指出课本中的“负角”化为“正角”是针对具体负角而言的.

学生练习

化简： .

设计意图

重点加强对三角函数的诱导公式的综合应用.

（八）小结

1.小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤.

2.体会数形结合、对称、化归的思想.

3.“学会”学习的习惯.

（九）作业

1.课本P-27,第1,2,3小题;

2.附加课外题 略.

设计意图

加强学生对三角函数的诱导公式的记忆及灵活应用，附加题的设置有利于有能力的同学“更上一楼”.

（十）板书设计：（略）

八．课后反思

对本节内容在进行教学设计之前，本人反复阅读了课程标准和教材，针对教材的内容，编排了一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来，通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到了一定的预期效果，尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。

然而还有一些缺憾：对本节内容，难度不高，本人认为，教师的干预（讲解）还是太多。

在以后的教学中，对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作。随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求。用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效。

三角函数的诱导公式知识点

　　三角函数的诱导公式

　　诱导公式的本质

　　所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

　　常用的诱导公式

　　公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα k∈z

　　cos(2kπ+α)=cosα k∈z

　　tan(2kπ+α)=tanα k∈z

　　cot(2kπ+α)=cotα k∈z

　　公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

　　“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

　　符号判断口诀：

　　“一全正;二正弦;三两切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。

　　“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

　　所有三角函数诱导公式

　　常用的诱导公式有以下几组：

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα

　　cos(2kπ+α)=cosα

　　tan(2kπ+α)=tanα

　　cot(2kπ+α)=cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　公式三：

　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　公式六：

　　π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　诱导公式记忆口诀

　　※规律总结※

　　上面这些诱导公式可以概括为：

　　对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，

　　①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变;

　　②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

　　(奇变偶不变)

　　然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

　　(符号看象限)

　　例如：

　　sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。

　　当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)《0，符号为“-”。

　　所以sin(2π-α)=-sinα

　　上述的记忆口诀是：

　　奇变偶不变，符号看象限。

　　公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α

　　所在象限的原三角函数值的符号可记忆

　　水平诱导名不变;符号看象限。

　　各种三角函数在四个象限的`符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”.

　　这十二字口诀的意思就是说：

　　第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;

　　第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”;

　　第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”;

　　第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”.

　　上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦

　　其他三角函数知识：

　　同角三角函数基本关系

　　⒈同角三角函数的基本关系式

　　倒数关系:

　　tanα ·cotα=1

　　sinα ·cscα=1

　　cosα ·secα=1

　　商的关系：

　　sinα/cosα=tanα=secα/cscα

　　cosα/sinα=cotα=cscα/secα

　　平方关系：

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1

　　1+tan^2(α)=sec^2(α)

　　1+cot^2(α)=csc^2(α)

　　同角三角函数关系六角形记忆法

　　六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接)

　　构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

　　(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数;

　　(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

　　(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。

　　(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

　　两角和差公式

　　⒉两角和与差的三角函数公式

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　　tanα+tanβ

　　tan(α+β)=——————

　　1-tanα ·tanβ

　　tanα-tanβ

　　tan(α-β)=——————

　　1+tanα ·tanβ

　　倍角公式

　　⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

　　sin2α=2sinαcosα

　　cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

　　2tanα

　　tan2α=—————

　　1-tan^2(α)

　　半角公式

　　⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

　　1-cosα

　　sin^2(α/2)=—————

　　2

　　1+cosα

　　cos^2(α/2)=—————

　　2

　　1-cosα

　　tan^2(α/2)=—————

　　1+cosα

　　万能公式

　　⒌万能公式

　　2tan(α/2)

　　sinα=——————

　　1+tan^2(α/2)

　　1-tan^2(α/2)

　　cosα=——————

　　1+tan^2(α/2)

　　2tan(α/2)

　　tanα=——————

　　1-tan^2(α/2)

　　万能公式推导

　　附推导：

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

　　(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=tan2α/(1+tan^2(α))

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　三倍角公式

　　⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα

　　3tanα-tan^3(α)

　　tan3α=——————

　　1-3tan^2(α)

　　三倍角公式推导

　　附推导：

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

　　=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

　　=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^2(α)

　　=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

　　=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

　　=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

　　=4cos^3(α)-3cosα

　　即

　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα

　　三倍角公式联想记忆

　　记忆方法：谐音、联想

　　正弦三倍角：3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”))

　　余弦三倍角：4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)

　　☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

　　和差化积公式

　　⒎三角函数的和差化积公式

　　α+β α-β

　　sinα+sinβ=2sin—----·cos—---

　　2 2

　　α+β α-β

　　sinα-sinβ=2cos—----·sin—----

　　2 2

　　α+β α-β

　　cosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----

　　2 2

　　α+β α-β

　　cosα-cosβ=-2sin—-----·sin—-----

　　2 2

　　积化和差公式

　　⒏三角函数的积化和差公式

　　sinα ·cosβ=0.5

　　cosα ·sinβ=0.5

　　cosα ·cosβ=0.5

　　sinα ·sinβ=- 0.5

　　和差化积公式推导

　　附推导：

　　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

高中数学三角函数教案 高一三角函数教案

三角函数知识梳理

§1.1任意角和弧度制

⎧正角：逆时针方向旋转

⎪

1. . 任意角⎨负角：顺时针防线旋转

⎪零角⎩

2. 象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：β|β=k ⨯360 +α, k ∈Z ②终边在x 轴上的角的集合： β|β=k ⨯180 , k ∈Z ③终边在y 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180 +90 , k ∈Z ④终边在坐标轴上的角的集合：β|β=k ⨯90 , k ∈Z ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：

{}

{}

{}

{}

{β|β=k ⨯180+45, k ∈Z }

⑥终边在y =-x 轴上的角的集合：β|β=k ⨯180 -45 , k ∈Z

⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：α=360k -β，k ∈Z ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：α=360 k +180 -β，k ∈Z ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：α=180k +β，k ∈Z ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：α=180k +β+90，k ∈Z 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对

的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|=

{}

l

, 其中r 是圆的半径。 r

180

5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（180）°≈57.30° 1°＝π

π

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：⎨α|2k π

⎧⎩

π

⎫

+2k π, k ∈Z ⎬ 2⎭

o

锐角：⎨α|0

⎧

⎩

π⎫

2⎭

⎬ ； 小于90的角：⎨α|α

⎧⎩

π⎫

⎬（包括负角和零角） 2⎭

2

7. 弧长公式：l =|α|R 扇形面积公式：S =lR =|α|R

§1.2任意角的三角函数

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x , y ) 是α的终边上

的任意一点（异于原点）

，它与原点的距离是r =

》0，那么

y x sin α=,cos α=

r r

2.. 三角函数线

y

tan α=, (x ≠0) ，

x

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：3. 三角函数在各象限的符号：

＋ ＋ － ＋ － － － ＋ α cos α tan α

4. 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：sin α+cos α=1,1+tan α=（2）商数关系：tan α=

2

2

2

1

cos 2α

sin α

（用于切化弦） cos α

※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换

§1.3三角函数的诱导公式

k π

±α形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 1. 诱导公式（把角写成2

⎧sin(-x ) =-sin x ⎧sin(2k π+x ) =sin x ⎧sin(π+x ) =-sin x ⎪⎪⎪Ⅰ）⎨cos(2k π+x ) =cos x Ⅱ）⎨cos(-x ) =cos x Ⅲ） ⎨cos(π+x ) =-cos x ⎪tan(-x ) =-tan x ⎪tan(2k π+x ) =tan x ⎪tan(π+x ) =tan x ⎩⎩⎩

π⎧π⎧⎧sin(π-x ) =sin x sin(-α) =cos α+α) =cos α⎪⎪⎪⎪2⎪2Ⅳ）⎨cos(π-x ) =-cos x Ⅴ）⎨ Ⅵ）⎨

⎪tan(⎪cos(π-α) =sin α⎪π+α) =-sin απ-x ) =-tan x ⎩⎪⎪2⎩2⎩

§1.4三角函数的图像与性质

1. 周期函数定义：对于函数f (x ) ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x +T ) =f (x ) 都成立，那么就把函数f (x ) 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。（并非所有函数都有最小正周期） ①

y =sin x 与y =cos x 的周期是π.

②

y =sin(ωx +ϕ) 或y =cos(ωx +ϕ) （ω≠0）的周期T

π

ω

=

2π

.

③y =A t an(ωx +ϕ) 的周期为T =

y =tan

x π

的周期为2π（T =⇒T =2π，如图）

2（1）几个物理量：A ―振幅；f =

1

―频率（周期的倒数）；ωx +ϕ—相位；ϕ―初相；

T

（2）函数y =A sin(ωx +ϕ) 表达式的确定：A 期确定；ϕ由图象上的特殊点

确f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A 》0, ω》0，|ϕ|

π

2

) 15π

f (x ) ＝_____（答：f (x ) =2sin(x +) ）；

23

（3）函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的画法：

①“五点法”――设X =ωx +ϕ，令X ＝0，

π

2

, π,

3π

, 2π求出相应的x 值，计算得出五2

点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数y =A sin(ωx +ϕ) +k 的图象与y =sin x 图象间的关系：①函数y =sin x 的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ》0）或向右（ϕ

1

ω

，得到函数

y =sin (ωx +ϕ)的图象；

③函数y =sin (ωx +ϕ)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数

y =A sin(ωx +ϕ) 的图象；

④函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的横坐标不变，纵坐标向上（k 》0）或向下（k

要特别注意，若由y =sin (ωx )得到y =sin (ωx +ϕ)的图象，则向左或向右平移应平移

|

ϕ

|个单位 ω

例：以y =sin x 变换到y =4sin(3x +π) 为例

3

y =sin x 向左平移

π

个单位 （左加右减）

π⎫⎛

y =s i n x + ⎪

3⎝⎭

横坐标变为原来的

1π⎫⎛

倍（纵坐标不变） y =sin 3x +⎪ 33⎭⎝

π⎫

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） y =4sin ⎛3x + ⎪

3⎭⎝

1

y =sin x 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）y =sin (3x )

向左平移

ππ⎫π⎫⎛⎛

个单位 （左加右减） y =sin 3 x +⎪=sin 3x +⎪ 9⎭3⎭⎝⎝

π⎫

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）y =4sin ⎛3x + ⎪

3⎭⎝

注意：在变换中改变的始终是x 。

（5）函数性质（潜在换元思想）：求对称中心、对称轴、单调区间的方法（特别注意先ω》0）

sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” 9. 正余弦“三兄妹—sin x ±cos x 、

三角函数测试卷一

一、选择题：

1．若-

π

B ．第二象限

C ．第三象限

（ ）

D ．第四象限

A ．第一象限

2． “sin A =

1

2

”“A=30º”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知∆ABC 中，三内角A ．B ．C 成等差数列，则sin B =

（ A ．

12

B

C

D

4．设角α的终边经过点P （3x ，-4x ）（x ＜0），则sin α-cos α

的

A ．

71

15

B ．

1C ．7或-75

5

5

D ．5或-

5

5．sin 15

sin 30

sin 75

的值是（ ）、 A

B

11 C ．8 D ．4

6．已知sin x tan x

0 ）

A ．2cos x

B x C ．2sin x D ．-2sin x 7．在 ABC 中，已知a 2tan B =b 2tan A ，则该 ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形

D. 等腰或直角三角形

8．下列函数中，以π为周期的偶函数是

（ ）

A ．y =sin x

B ．y =sin x

C ．y =sin(2x +

π

3

) D ．y =sin(x +

π

2

) 9

．函数y =x 2+cos x

2

的最小值和最小正周期是（ ） A ．2，2π B ．－2，2π C ．－2，π D ．－2，4π 10．已知cos α=

13，α是锐角，cos(α+β) =-1

7

，则cos β=（ ） A

．

1 B

．-1C

．

-1-1±2121 21 D

．21

11．已知cos x +sin x =

1

5

，0

）

（

A ． -

43或-34 B ．-34 C ．-4

433

D ．-3或4

12．在∆ABC 中，若a=4，

b=∠A =30 , 则∠B 等于

（ ）

A.120

B.120 或30 C.60 D.60 或120

二、填空题

13．若sin(α+300

) =

3

5

，α∈(900, 1800) ，则sin α= 14．已知圆锥高为4, 底面半径为3, 则它的侧面展开图的圆心角为15．已知sin α=

1παα

3，且0

2

=。 16．已知sin α=2cos α，则sin 2

α+2sin αcos α=________

17．已知在△ABC 中，A=60°，

BC AB =5

2

，则sin C = 18．s in α、cos α是方程4x 2

+26x+m=0的两根, 则m 的值为 三、解答题

19．（本题满分8分）已知函数f (x ) =2cos 2

x +2sin(π-x ) sin(π

2

+x )

(1)求f (x ) 的最小正周期；

(2)若x ∈R ，求当函数f (x ) 取得最大值时自变量x 的集合．

20．在⊿ABC 中，BC =a , AC =b , a 、b 是方

程x 2

-+2=0

的两个根，2cos (A +B )=1，求(1)角C 的度数 (2)AB 的长 (3) ⊿ABC 的面积

且

21．已知 ABC 中, 满足sin A :sinB :sinC =2:3:4. 试判断 ABC 是什么形状?

22．已知α为锐角，且点(cosα,sin α) 在曲线6x 2+y 2=5上。

（1）求cos 2α的值

π

（2）求tan(2α-) 的值

4

23．已知点A （3，0），B （0，3），C(cosα,sin α)

（1） 若AC ∙BC =-1，求sin2α的值；

(2)

若OA +OC =O 是原点，且α∈(0,π) ，求OB 与OC 的夹角。

24．（1）求函数y =sin (2x +θ)的周期；（2）若θ=（1）中的函数取得最大值、最小值？

π

⎡ππ⎤

，x 在⎢-, ⎥上取何值时，3⎣22⎦

⎛π⎫⎛π⎫

（3）求证：2sin +x ⎪cos -x ⎪cos θ+2cos 2x -1sin θ=sin (2x +θ)。

⎝2⎭⎝2⎭

()